江苏卷高考应用题考查热点

2020-02-10 06:02:46 中学课程辅导·高考版 2020年2期

数学应用性问题是历年高考命题的必考题型,也是同学们失分较多的一种题型.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,在江苏卷中,几何图形(空间图形、平面图形)、函数、三角、直线与圆等为常见的模型.高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然,高考应用性问题关注当前国内外的政治、经济、文化,紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色.

一、以空间图形为背景的应用题

例1?(2019南通七市二模)图①是一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形.点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H,M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH=θ(0<θ<π4).

(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式;

(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k为正的常数),下部主體造价与其高度成正比,比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅,试问:当θ为何值时,总造价最低?

解:(1)由题意FH⊥平面ABCD,FM⊥BC,

又因为HM平面ABCD,得FH⊥HM.

在Rt△FHM中,HM=5,∠FMH=θ,

所以FM=5cosθ.

因此△FBC的面积为12×10×5cosθ=25cosθ.

从而屋顶面积S=2S△FBC+2S梯形ABFE

=2×25cosθ+2×25cosθ×2.2=160cosθ.

所以S关于θ的函数关系式为

S=160cosθ(0<θ<π4).

(2)在Rt△FHM中,FH=5tanθ,所以主体高度为h=6-5tanθ.

所以别墅总造价为

y=S·k+h·16k

=160cosθ·k+(6-5tanθ)·16k

=160cosθk-80sinθcosθk+96k

=80k·(2-sinθcosθ)+96k,

记f(θ)=2-sinθcosθ,0<θ<π4,

所以f′(θ)=2sinθ-1cos2θ,

令f′(θ)=0,得sinθ=12,又0<θ<π4,所以θ=π6,

列表:

θ(0,π6)π6(π6,π4)

f′(θ)-0+

f(θ)3

所以当θ=π6时,f(θ)有最小值.

答:当θ为π6时该别墅总造价最低.

二、以平面图形为背景的应用题

例2?(2019南通三模)南通风筝是江苏传统手工艺品之一.现用一张长2m,宽1.5m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面,裁剪方法如下:分别在边AB,AD上取点E,F,将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF处,点A′落在牛皮纸上,沿A′E,A′F裁剪并展开,得到风筝面AEA′F,如图1.

(1)若点E恰好与点B重合,且点A′在BD上,如图2,求风筝面ABA′F的面积;

(2)当风筝面AEA′F的面积为3m2时,求点A′到AB距离的最大值.

解:(1)方法一:建立如图所示的直角坐标系.

则B(2,0),D(0,32),

直线BD的方程为3x+4y-6=0.

设F(0,b)(b>0),

因为点F到AB与BD的距离相等,

所以b=|4b-6|5,解得b=23或b=-6(舍去).

所以△ABF的面积为12×2×23=23m2,

所以四边形ABA′F的面积为43m2.

答:风筝面ABA′F的面积为43m2.

方法二:设∠ABF=θ,则∠ABA′=2θ.

在直角△ABD中,

tan2θ=ADAB=34,

所以2tanθ1-tan2θ=34,

解得tanθ=13或tanθ=-3(舍去).

所以AF=ABtanθ=23.

所以△ABF的面积为12×2×23=23m2,

所以四边形ABA′F的面积为43m2.

答:风筝面ABA′F的面积为43m2.

(2)方法一:建立如图所示的直角坐标系.

设AE=a,AF=b,A′(x0,y0),

则直线EF的方程为bx+ay-ab=0,

因为点A,A′关于直线EF对称,

所以y0x0=ab,bx02+ay02-ab=0,

解得y0=2a2ba2+b2.

因为四边形AEA′F的面积为3,所以ab=3,

所以y0=23a3a4+3=23a+3a3.

因为0

设f(a)=a+3a3,233≤a≤2.

f′(a)=1-9a4=(a2+3)(a+3)(a-3)a4,

令f′(a)=0,得a=3或a=-3(舍去).

列表如下:

a[233,3)3(3,2]

f′(a)-0+

f(a)单调递减极小值单调递增

当a=3时,f(a)取得极小值,即最小值433,

所以y0的最大值为32,此时点A′在CD上,a=3,b=1.

答:点A′到AB距离的最大值为32m.

方法二:设AE=a,∠AEF=θ,则AF=atanθ.

因为四边形AEA′F的面积为3,所以AE·AF=3,

即a2tanθ=3,所以tanθ=3a2.

过点A′作AB的垂线A′T,垂足为T,则

A′T=A′E·sin2θ=AE·sin2θ=asin2θ

=a·2sinθcosθsin2θ+cos2θ=a·2tanθtan2θ+1

=a·2×3a23a4+1=23a+3a3.

因为0

(下同方法一)

三、以解三角形为背景的应用题

例3?(2018江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规劃在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.

(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

解:(1)连结PO并延长交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.

过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,

故OE=40cosθ,

EC=40sinθ,

则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),

△CDP的面积为12×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ).

过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.

令∠GOK=θ0,则sinθ0=14,θ0∈(0,π6).

当θ∈[θ0,π2)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,

所以sinθ的取值范围是[14,1).

答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值范围是[14,1).

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,

设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为

4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ)

=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,π2).

设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,π2),

则f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ

=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).

令f′(θ)=0,得θ=π6,当θ∈(θ0,π6)时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数;

当θ∈(π6,π2)时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数,

因此,当θ=π6时,f(θ)取到最大值.

答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

四、以直线和圆为背景的应用题

例4?(2019年江苏)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).

(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;

(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;

(3)对规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P、Q两点间的距离.

解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.

由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.

因为PB⊥AB,

所以

cos∠PBD=sin∠ABE=810=45.

所以PB=BDcos∠PBD=1245=15.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处,连结AD,由(1)知

AD=AE2+ED2=10,

从而cos∠BAD=AD2+AB2-BD22AD·AB=725>0,所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此,Q选在D处也不满足规划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,

此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35=9;

当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.

由上可知,d≥15.

再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=321.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离

PQ=PD+CD+CQ=17+321.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321(百米).

解法二:(1)如圖,过O作OH⊥l,垂足为H.

以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.

因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.

因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.

从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34.

因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-43,

直线PB的方程为y=-43x-253.

所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处,连结AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),

所以线段AD:y=-34x+6(-4≤x≤4).

在线段AD上取点M(3,154),

因为OM=32+(154)2<32+42=5,

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);

当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.

由上可知,d≥15.

再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.

当QA=15时,设Q(a,9),

由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a>4),

得a=4+321,所以Q(4+321,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离

PQ=4+321-(-13)=17+321.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321(百米).

五、以函数为背景的应用题

例5?(2019无锡一模)十九大提出对农村要坚持精准扶贫,至2020年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查,该村现有贫困农户100家,他们均从事水果种植,2017年底该村平均每户年纯收入为1万元,扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良,提高产量;另一方面,抽出部分农户从事水果包装、销售工作,其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始,若该村抽出5x户(x∈Z,1≤x≤9)从事水果包装、销售.经测算,剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20,而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为(3-14x)万元(参考数据:1.13=1.331,1.153≈1.521,1.23=1.728).

(1)至2020年底,为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元),至少抽出多少户从事包装、销售工作?

(2)至2018年底,该村每户年均纯收人能否达到1.35万元?若能,请求出从事包装、销售的户数;若不能,请说明理由.

考点:不等式,应用数学知识解应用题的能力.

答案:(1)至2020年底,种植户平均收入=(100-5x)(1+x20)3100-5x≥1.6,

即(1+x20)3≥1.6,即x≥20(31.6-1),

由题所给数据,知:1.15<31.6<1.2,

所以,3<20(31.6-1)<4,

所以,x的最小值为4,5x≥20,

即至少抽出20户从事包装、销售工作.

(2)至2018年底,假设能达到1.35万元,

每户的平均收为:f(x)=5x(3-14x)+(100-5x)(1+x20)100≥1.35,

化简,得:3x2-30x+70≤0,因为x∈Z,1≤x≤9,

解得:x∈{4,5,6},

所以,当从事包装、销售的户数达到20户,25户,30户时,能达到,否则,不能.

例6?如图,矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图,现欲修一条笔直的小路MN(宽度不计)经过该矩形区域,其中MN都在矩形ABCD的边界上.已知AB=8,AD=6(单位:百米),小路MN将矩形ABCD分成面积分别为S1,S2(单位:平方百米)的两部分,其中S1≤S2,且点A在面积为S1的区域内,记小路MN的长为l百米.

(1)若l=4,求S1的最大值;

(2)若S2=2S1,求l的取值范围.

解:依題意,折痕有下列三种情形:

①折痕的端点M,N分别在边AB,AD上;

②折痕的端点M,N分别在边AB,CD上;

③折痕的端点M,N分别在边AD,BC上.

(1)在情形②、③中MN≥6,故当l=4时,折痕必定是情形①.

设AM=xcm,AN=ycm,则x2+y2=16.

因为x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,

所以S1=12xy≤4,当且仅当x=y=22时取等号.

即S1的最大值为4.

(2)由题意知,长方形的面积为S=6×8=48.

因为S1∶S2=1∶2,S1≤S2,所以S1=16,S2=32.

(ⅰ)当折痕是情形①时,设AM=xcm,AN=ycm,则12xy=16,即y=32x.

由0≤x≤8,0≤32x≤6,得163≤x≤8.

所以l=x2+y2=x2+322x2,163≤x≤8.

令t=x2,则2569≤t≤64,设y=t+322t,

则y′=1-322t2,令y′=0,得t=32(负舍).

t2569(2569,32)32(32,64)64

y′-0+

y64496480

所以f(x)的取值范围为[64,80],

故l的取值范围是[8,45];

(ⅱ)当折痕是情形②时,设AM=xcm,DN=ycm,

则12(x+y)×6=16,即y=163-x.

由0≤x≤8,0≤163-x≤8,得0≤x≤163.

所以l=62+(x-y)2=4(x-83)2+36,0≤x≤163.

所以l的取值范围为[6,21453];

(ⅲ)当折痕是情形③时,设BN=xcm,AM=ycm,

则12(x+y)×8=16,即y=4-x.

由0≤x≤8,0≤4-x≤6,得0≤x≤4.

所以l=82+(x-y)2=4(x-2)2+64,0≤x≤4.

所以l的取值范围为[8,45].

综上所述,l的取值范围为[6,45].

应用题的信息量大,重点考查同学们处理问题的能力.在解应用题时通常有以下步骤:首先是审题:理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础;接着是建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,熟悉基本数学模型,正确进行建“模”是关键的一关;然后求模:求解数学模型,得到数学结论,一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙作,优化过程;最后还原:将数学结论还原成实际问题的结果.

(作者:殷高荣,如皋市教育局教研室)

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