2020年高考数学模拟试卷一

2020-02-10 06:02:46 中学课程辅导·高考版 2020年2期

本刊试题研究组

一、填空题(本大题共14小题,每题5分,共70分)

1.已知全集U={1,2,3},A={2},则瘙 綂

UA=______.

2.已知复数z=m-i1+i(m∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为______.

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5∶5∶4,现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级为12人,则抽取的样本容量为______人.

4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的T的值为______.

5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,2),则双曲线的离心率为______.

6.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和大于9的概率为______.

7.已知变量x,y满足约束条件|2x+y-2|≤1,x≥0,y≥0,则x-2y+1的最大值为______.

8.已知角α+π6的终边经过点P(-1,-22),则sinα=______.

9.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,∠CAB=90°,AC=AB=2,CC1=2,P是BC1的中点,则三棱锥CA1C1P的体积为______.

10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且满足Sn=an+1,则数列{Sn}的前10项的和为______.

11.已知函数f(x)=2x2+4x+1,x<0,1ex,x≥0,若函数h(x)=f(x)+12x-a恰有3个不同的零点,则实数a的取值集合为______.

12.若等边△ABC的边长为2,其所在平面内的两个动点P,M满足|AP|=1,PM=MB,则CM·CB的最大值为______.

13.已知正数a,b,c,d满足1a+2b=1,2c+3d=2,则a+bcd的最小值为______.

14.在平面直角坐标系xOy中,已知点A是圆C:(x-4)2+(y-1)2=92上一动点,点B是直线x-y+2=0上一动点,若∠AOB=90°,则OBOA的最小值为______.

二、解答题(本大题共6小题,共计90分)

15.(本小题满分14分)

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且3cos(B+C)+2sin2A=0.

(1)求角A的大小;

(2)若B=π4,a=23,求边长c.

16.(本小题满分14分)

如图,四棱锥PABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,AD=2BC,且∠BAD=∠BPA=90°,平面APB⊥底面ABCD,點M为PD的中点.

(1)求证:CM∥平面PAB;

(2)求证:PB⊥PD.

17.(本小题满分14分)

现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是圆锥,下部的形状是圆柱(如图所示),并要求圆柱的高是圆锥的高的2倍.

(1)若圆柱的底面圆的半径为3m,仓库的侧面积为63πm2,则仓库的容积是多少?

(2)若圆锥的母线长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大.

18.(本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,0),且两准线间的距离为833.

(1)求椭圆的方程;

(2)已知B2,B1分别是椭圆的上、下顶点,过点E(0,12)的直线l与椭圆交于M,N两点,直线MB2与直线NB1的交于点T.

①若直线l的斜率为12,求点T的坐标;

②试问点T是否在某定直线上?若在定直线上,求出定直线方程;若不在定直线上,请说明理由.

19.(本小题满分16分)

已知函数f(x)=x2+(a+2)x+aex(a∈R),g(x)=exf(x).

(1)若A={x|g(x)≤9,x∈[a,+∞)}≠,求实数a的取值范围;

(2)设f(x)的极大值为M,极小值为N,求MN的取值范围.

20.(本小题满分16分)

已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{bn}满足bn=an·an+1·an+2(n∈N*),

(1)若数列{an}满足a10=-2,a4,a14,a9成等比数列;

①求数列{an}的通项公式;

②数列{bn}的前n项和为Sn,当n多大时,Sn取最小值;

(2)若数列{cn}满足cn=an+1an+2-a2n(n∈N*),且等差数列{an}的公差为13,存在正整数p,q,使得ap+cq是整数,求|a1|的最小值.

附加题

21.(本小题满分10分)

已知直线l:x-y-1=0在矩阵M=2013对应的变换作用下变为直线l′:ax+by-2=0,求实数a,b的值.

22.(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中,已知直线l过点(2,0),且倾斜角为60°,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ2=4cos2θ+3sin2θ.

求:(1)曲线C的直角坐标方程;

(2)直线l被曲线C截得的线段长.

23.(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F(1,0).

(1)求抛物线C的方程;

(2)过F(1,0)作两条直线l1,l2分别交抛物线于A,B和C,D四点,且△ABD的面积是△ABC的面积的4倍,求直线l2的方程.

24.(本小题满分10分)

设n≥4且n为正整数,从{1,2,…,n}中选出4个不同的数a,b,c,d使得a+d=b+c(不考虑a,b,c,d间的顺序)的不同取法种数记为f(n),如f(4)=1,f(5)=3.

(1)求f(6)、f(7);

(2)设n≥4,求f(n).

参考答案

一、填空题

1.{1,3}

2.1

3.42

4.15

5.5

6.16

7.52

8.1-266

9.23

10.1023

11.{1,12+12ln2}

12.4

13.13+43

14.14

二、解答题

15.(1)在△ABC中,由A+B+C=π,

sin2A+cos2A=1及3cos(B+C)+2sin2A=0,

得:3cos(π-A)+2(1-cos2A)=0,

所以2cos2A+3cosA-2=0,

所以(2cosA-1)(cosA+2)=0,

因为cosA∈(-1,1),所以cosA=12,

因为A∈(0,π),所以A=π3.

(2)sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)

=sinAcosB+cosAsinB

=32×22+12×22=6+24,

在△ABC中,由正弦定理得:csinC=asinA,

所以c6+24=2332,所以c=6+2.

16.证明:(1)取AP的中点H,连接BH,HM,

因为H,M分别为AP,DP的中点,

所以HM=12AD且HM∥AD,

因为AD∥BC且AD=2BC,所以HM=BC且HM∥BC,

所以四边形BCMH为平行四边形,所以CM∥BH,

因为CM平面PAB,BH平面PAB,

所以CM∥平面PAB.

(2)因为∠BAD=90°,所以BA⊥AD.

因为平面APB⊥平面ABCD,AD平面ABCD,平面APB∩平面ABCD=AB,

所以AD⊥平面APB,

因为PB平面PAB,所以PB⊥AD,

因为∠BPA=90°,所以PB⊥PA,

因為PA∩PD=P,PA,PD平面PAD,

所以PB⊥平面PAD,

因为PD平面PAD,所以PB⊥PD.

17.(1)解:设圆锥的高为hm,因为圆柱的高是圆锥的高的2倍,所以圆柱的高为2hm.

仓库的侧面积

S=12×2π×39+h2+2π×3×2h=63π,

所以9+h2=21-4h,所以9+h2=(21-4h)2,

所以5h2-56h+144=(h-4)(5h-36)=0,

所以h=4或h=365,

当h=365时,21-4h<0,所以h=4m,

所以仓库的容积为

13π×32×4+π×32×8=84πm2.

答:仓库的容积是84πm2.

(2)设PO1为xm,圆柱的底面圆的半径为rm.

仓库的容积V=13×π×r2×x+π×r2×2x

=73πr2x=73π(-x3+36x),x∈(0,6),

设f(x)=-x3+36x,x∈(0,6),

令f′(x)=-3x2+36=0得:x=23,

x(0,23)23(23,6)

f′(x)+0-

f(x)↗极大值↘

所以x=23m时,仓库的容积V取得极大值,也是最大值.

答:当PO1为23m时,仓库的容积最大.

18.(1)设椭圆的半焦距为c.

因为椭圆过点P(2,0),且两准线间的距离为833,

所以a=2,2×a2c=833,

所以a=2,c=3,b=a2-c2=1,

所以椭圆的方程为x24+y2=1.

(2)①设M(x1,y1),N(x2,y2),

因为直线l的斜率为12,所以直线l的方程为

y=12x+12,

由x24+y2=1y=12x+12得:2x2+2x-3=0,

所以x1=-1-72,x2=-1+72,

由y=y1-1x1x+1y=y2+1x2x-1得:(y1-1x1-y2+1x2)x=-2,

所以x=2x1x2x1(y2+1)-x2(y1-1)

=2x1x2x1(x22+32)-x2(x12-12)

=4x1x23x1+x2=27-4,

y=y1-1x1(27-4)+1=x1-12x1(27-4)+1=2.

点T的坐标为(27-4,2).

②由x24+y2=1y=kx+12得:(1+4k2)x2+4kx-3=0,

所以x1+x2=-4k1+4k2,x1x2=-31+4k2,

由y=y1-1x1x+1y=y2+1x2x-1

得:

[x1(y2+1)-x2(y1-1)]y

=[x2(y1-1)+x1(y2+1)],

所以y=[x2(y1-1)+x1(y2+1)][x1(y2+1)-x2(y1-1)]

=x1y2+x2y1-x2+x1x1y2-x2y1+x2+x1,

x1(kx2+12)+x2(kx1+12)-x2+x1x1(kx2+12)-x2(kx1+12)+x2+x1=4kx1x2+3x1-x23x1+x2

=4kx1x2-3(x1+x2)+6x1+2x23x1+x2

=4k-31+4k2-3-4k1+4k2+6x1+2x23x1+x2=2,

所以点T在直线y=2上.

19.(1)因为A={x|g(x)≤9,x∈[a,+∞)}≠,

所以函数g(x)=x2+(a+2)x+a的最小值小于等于9.

1°当a≥-23时,函数g(x)的对称轴为-a+22≤a,

所以g(x)min=g(a)=2a2+3a≤9,所以-3≤a≤32,

因为a≥-23,所以-23≤a≤32.

2°a<-23时,函数g(x)的对称轴为-a+22>a,

所以g(x)min=-a2-44≤9恒成立,所以a<-23.

综上:实数a的取值范围为(-∞,32]

(2)f′(x)=-x2-ax+2ex,

设h(x)=-x2-ax+2,因为Δ=a2+8>0,

所以函数h(x)有两个不同的零点,不妨设x1,x2且x1

x1+x2=-a,x1x2=-2.

当x∈(-∞,x1)时,h(x)<0,函数f(x)为单调减函数,

当x∈(x1,x2)时,h(x)>0,函数f(x)为单调增函数,

当x∈(x2,+∞)时,h(x)<0,函数f(x)为单调减函数,

所以当x=x1时,函数f(x)取得极小值,当x=x2时,函数f(x)取得极大值,

所以MN=f(x2)f(x1)=x22+(a+2)x2+ax21+(a+2)x1+aex1-x2

=2x2+a+22x1+a+2ex1-x2(*)

将x1+x2=-a代入(*)得:

MN=x2-x1+2x1-x2+2ex1-x2,

设t=x1-x2=-(x1-x2)2

=-a2+8≤-22,

所以x2-x1+2x1-x2+2ex1-x2=2-tt+2et,

设Q(t)=2-tt+2et,t≤-22,

Q′(t)=-t2et(t+2)2<0,所以函數Q(t)在(-∞,22]上为单调减函数,

-(3+22)e-22≤Q(t)<0,

综上:MN的取值范围为[-(3+22)e-22,0).

20.(1)①设数列{an}的公差为d,

因为a4,a14,a9成等比数列,

所以(-2+4d)2=(-2-6d)(-2-d),

所以d2-3d=0,因为d≠0,所以d=3,

所以an=a10+(n-10)d=3n-32.

②当1≤n≤10时,an<0,当n≥11时,an>0,

因为bn=an·an+1·an+2,

所以当1≤n≤8时,bn<0,当n≥11时,bn>0,

b9>0,b10<0,所以S1>S2>…>S8S10

所以Sn的最小值为S8或S10.

因为S10-S8=b9+b10=a10a11(a9+a12),

又因为a10<0,a11>0,a9+a12=-1<0,

所以S10-S8>0,

所以当n=8时,Sn取最小值.

(2)cn=an+1an+2-a2n

=(an+13)(an+23)-a2n=an+29.

若存在正整数p,q,使得ap+cq是整数,

则ap+cq=a1+(p-1)×13+a1+(q-1)×13+29=2a1+p+q-23+29∈Z,

设m=2a1+p+q-23+29,m∈Z,

所以18a1=3(3m-p-q+1)+1是一个整数,

所以|18a1|≥1,从而|a1|≥118,

又当a1=118时,有a1+c3=1∈Z.

综上:|a1|的最小值为118.

附加题

21.解:设直线l上任意一点(x0,y0)在矩阵M变换作用下变为(x,y),

所以2013x0y0=xy,得:2x0=xx0+3y0=y.

因为ax+by-2=0,

所以(2a+b)x0+3by0-2=0(*)

(x0,y0)为直线l上任意一点,所以(*)与2x0-2y0-2=0为同一方程,

所以2a+b=23b=-2,所以a=43,b=-23.

22.(1)因为曲线C的极坐标方程是

ρ2=4cos2θ+3sin2θ,

所以ρ2(cos2θ+3sin2θ)=ρ2(cos2θ-sin2θ+3sin2θ)=ρ2(cos2θ+2sin2θ),

因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以x2+2y2=4,

所以曲线C的直角坐标方程为x24+y22=1.

(2)因为直线l过点(2,0),且倾斜角为60°,

所以直线l的直角坐标方程为y=3x-23,

将直线l与曲线C联立方程组y=3x-23x24+y22=1,

得:7x2-24x+20=(7x-10)(x-2)=0,

所以x=2或x=107,

所以直线l与曲线C的交点为(2,0),(107,-437),

所以直线l被曲线C截得的线段长为(107-2)2+(-437)2=87.

23.(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F(1,0),

所以p2=1,即p=2,

抛物线C的方程为y2=4x.

(2)设△ABD的面积为S1,△ABC的面积为S2,

因为∠AFD+∠BFD=180°,∠AFC+∠BFC=180°,

所以

S1S2=12×AF×DF×sin∠AFD+12×BF×DF×sin∠BFD12×AF×CF×sin∠AFC+12×BF×CF×sin∠BFC

=DFCF=4,

FD=4CF,设C(x1,y1),D(x2,y2),

所以x2-1=4(1-x1)y2=-4y1y21=4x1y22=4x2,

得:4y21=5-4x1y21=4x1,

所以5-4x1=16x1,所以x1=14,y1=±1,

所以直线l2的方程为4x+3y-4=0或4x-3y-4=0.

24.(1)因为1+4=2+3,1+5=2+4,1+6=2+5,

1+6=3+4,2+5=3+4,2+6=3+5,

3+6=4+5,所以f(6)=7;同理:f(7)=13.

(2)1°当n≥4的偶数时,和a+d=b+c=s可以取以下值:5,6,…,n+1,…,2n-3,在s取定后,相應的两个最小的加数取值分别有:

C22,C22,C23,C23,…,C2n2-1,C2n2-1,C2n2,C2n2-1,C2n2-1,…,C22,C22种取法,

因此,共有4(C22+C23+…+C2n2-1)+C2n2=4C3n2+C2n2=n(n-2)(2n-5)24种取法.

2°当n≥4的奇数时,和a+d=b+c=t可以取以下值:5,6,…,n+1,…,2n-3,在s取定后,相应的两个最小的加数取值分别有:

C22,C22,C23,C23,…,C2n-12,C2n-12,C2n-12,…,C22,C22种取法,

因此,共有4(C22+C23+…+C2n-12)-C2n-12=4C3n+12-C2n-12=(2n-1)(n-1)(n-3)24种取法.

综上所述:f(n)=n(n-2)(2n-5)24,n=2k+2,(2n-1)(n-1)(n-3)24,n=2k+3(k∈N*).

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